Point Carré Blog

Le principe de la sommation par paquet est de séparer une somme initiale en une somme de sommes (je sais, c'est bizarre !). Par exemple, on peut séparer une somme banale avec d'un côté les nombres pairs et de l'autre les nombres impairs. Cela peut-être d'une aide bienvenue en trigonométrie ou avec $(-1)^k$. Exemple : $$\sum_{k=0}^{2n} k = \sum_{\lceil{k=\frac{0}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n}{2}}\rfloor} 2k + \sum_{\lceil{k=\frac{0}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n-1}{2}}\rfloor} 2k + 1 = \sum_{k=0}^{n} 2k + \sum_{k=0}^{n-1} 2k + 1$$ Le processus pas à pas : Je commence par construire le membre des nombres impairs en soustrayant -1 à droite (j'ajoute donc +1 à gauche). $$\sum_{k=-1}^{2n-1} k + 1$$ Puis, je remplace k par 2k, et donc je divise -1 et 2n par 2. $$\sum_{k=\frac{-1}{2}}^{\frac{2n-1}{2}} 2k + 1$$ Et je termine par les arrondis supérieurs et inférieurs : $$\sum_{k=\lceil{\frac{-1}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n-1}{2}}\rfloor} 2k + 1$$ Je pa...

Le raisonnement par récurrence (avec deux r s'il vous plait) est une méthode de démonstration d'une conjecture, c'est à dire d'une supposition. Une fois la récurrence terminée et la conjecture prouvée, elle deviendra une assertion vraie (sachant qu'une assertion peut-être vraie ou fausse mais pas les deux, c'est le principe dit du "tiers-exclu". Toutefois, les différentes définitions des termes de logique mathématique peuvent parfois différer légèrement et sont sujettes à débat. Le "tiers-exclu" en logique mathématique correspond à la disjonction des propositions p / non p. En clair, sur les deux propositions, l'une des deux est forcément vraie (si p est vraie, alors p est vraie et si p est fausse, non p est vraie...) Si la proposition est vraie à un certain point fixe (ex: n= 1) et, sachant qu'elle est vraie pour un n quelconque elle est aussi vraie pour le n suivant, alors la proposition est vraie pour tous les n plus g...

Un nombre complexe, communément noté $z$, s'écrit dans sa forme algébrique $z = a + ib$ ; avec a et b des réels. Aujourd'hui, nous allons voir comment déterminer la racine d'un nombre complexe. Pour cela, il suffit de poser : $$\omega^2 = z$$ Avec $$\omega$$ un nombre complexe tel que $$\omega = x + iy$$. Le but sera de déterminer x et y en fonction de a et b pour trouver $$\omega$$. Tout d'abord, développons $$\omega^2$$. $$(x+iy)^2 = x^2 + (iy)^2 + 2xyi = (x^2 - y^2) + i*(2xy)$$ Nous savons que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. Nous avons donc ici l'égalité : $$(x^2 - y^2) + i*(2xy) = a + ib$$ Et nous en déduisons le couple suivants : $$x^2 - y^2 = a $$ $$2xy = b$$ Comme je l'ai dit plus tôt, nous cherchons à exprimer x et y séparément et en fonction de a et b. Pour cela, il nous faut une troisième égalité. Comme nous savons que deux nombres complexes égaux ont des modu...

Les dérivées forment un outil mathématiques formidable dès lors qu'il s'agit d'étudier des fonctions. Ainsi, par l'étude du signe d'une dérivée nous sommes en mesure de dire que la fonction est croissante ou décroissante. Mais cela va au-delà : les équations différentielles, très employées en physique et biologie (équations de Lotka Volterra par exemple) nous font chercher un couple formé par une fonction et sa dérivée (première, seconde...). Pour déterminer le nombre dérivé d 'une fonction en un point, on utilise la limite du taux d’accroissement en ce point . La formule générale est :  $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ Fonction étudiée :  $f(x)=x^2$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 +2xh +h^2 -x^2}{h}$ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2x +h)}{h}$ $\displaystyle \...

Common core mathematics are essentially fun and tricky. Not necesserly in that order. Let's solve some of these maths problems that became meme over the internet. In this serie, you will find a few ways to improve yourself at solving common core maths. Because, if you think a bit to the last problem you find on your favorite social network, it was kind of tricky (and tricky is an euphemism). However, if you have the feeling common core problems are tricky, hard or just weird, that's only because they are based on simple and very easy problems. These problems are then complicated to make them looking hard. But they are not - and if you can't solve one of them within 2 minutes, you are not dumb. Click here t o see the previous problem . The Problem  And so... Where to start? A solution Let's write equations instead of th ese colo red squares . Blue = x ; Orange = y ; Green = z ; Yellow = t $x-y=9$ $y+z=2$   $t-z = 14$ $x + t...

Common core mathematics are essentially fun and tricky. Not necesserly in that order. Let's solve some of these maths problems that became meme over the internet. In this serie, you will find a few ways to improve yourself at solving common core maths. Because, if you think a bit to the last problem you find on your favorite social network, it was kind of tricky (and tricky is an euphemism). However, if you have the feeling common core problems are tricky, hard or just weird, that's only because they are based on simple and very easy problems. These problems are then complicated to make them looking hard. But they are not - and if you can't solve one of them within 2 minutes, you are not dumb. The Problem Write $A = 0.201420142014...$ as the ratio of two integers $\frac{p}{q}$ A solution $10000*A = 2014.201420142014$ $ = 2014 + A$ $10000*A = 2014 + A$ $9999*A = 2014$ $A = \frac{2014}{9999}$  Problem solved ! C lément Fonda...

Le but de cet article va être de montrer que le nombre $2^{33}-1$ n'est divisible ni par 4 ni par 3. Méthode 1 Une première méthode est rapide. Elle consiste à remarquer que $2^{33}$ est pair (2*2*2...*2) et divisible par 4. Donc $2^{33} -1$ est nécessairement impair et non divisible par 4. Méthode 2 - divisibilité par 4 Maintenant, démontrons le même résultat en utilisant les congruences. $2^{33} -1 \equiv 2^{33}-1 [4]$ Car tout nombre est congru à lui même et ce quel que soit le modulo. $2^{33} \equiv 2^{33} [4]$ On peu t ajouter k, entier relatif  de part et d'autre. $2^{33} \equiv (2^3)^{11} [4]$ $2^{33} \equiv (0)^{11} [4]$ Car $2^3 \equiv 8 \equiv 0 [4]$ $2^{33} \equiv 0 [4]$ Et par conséquent : $2^{33} -1 \equiv -1 [4]$ Or, un nombre a est divisible par n si et seulement si $a \equiv 0 [n]$, c'est à dire si a = kn + 0 Ici, nous avons déterminé que le reste de la division euclidienne de $2^{...

Common core mathematics are essentially fun and tricky. Not necesserly in that order. Let's solve some of these maths problems that became meme over the internet. In this serie, you will find a few ways to improve yourself at solving common core maths. Because, if you think a bit to the last problem you find on your favorite social network, it was kind of tricky (and tricky is an euphemism). However, if you have the feeling common core problems are tricky, hard or just weird, that's only because they are based on simple and very easy problems. These problems are then complicated to make them looking hard. But they are not - and if you can't solve one of them within 2 minutes, you are not dumb. The problem Find three numbers such as : AA + BB + CC  =  ABC Assuming A, B and C are (positives) integers. My solving proposition I started off by considering AA as a random two digits number, like 11 or 22. You will agree with this decomposition : 11 = 10 + 1 and...

Qui était Diophante ? Avant de s'attaquer à la méthode de résolution de ces équations géniales, intéressons-nous à l'homme qui les étudia par le passé. Il se nomme Diophante d'Alexandrie, Mathématicien Grecque ayant vécu, suivant les sources, entre le premier et le quatrième siècle avant Jésus-Christ. Il est célèbre dans l'univers des mathématiques pour son ouvrage "Arithmética" qui passe pour avoir inspiré Pierre de Fermat dans son Dernier Théorème : Il n'existe pas d'entiers x, y, z tels que       $x^n + y^n = z^n$      dès que n > 2 Si l'on pose une équation Diophantienne telle que $ax + by = c$, que l'on isole le y, on trouve : (c - ax)/b = y soit une fonction affine. A noter que la forme $ax + by + (-c) = 0$ est di te cartésienne. L'ensemble des points de coordonnées enti ères de cette droite sont solutions de l'équation. Méthode de résolution Donner l'ensemble des couples de solutions tels que 5u + 7...