Déterminer la racine carrée d'un complexe

Un nombre complexe, communément noté $z$, s'écrit dans sa forme algébrique $z = a + ib$ ; avec a et b des réels. Aujourd'hui, nous allons voir comment déterminer la racine d'un nombre complexe. Pour cela, il suffit de poser :
ω2=z
Avec ω un nombre complexe tel que ω=x+iy. Le but sera de déterminer x et y en fonction de a et b pour trouver ω.

Tout d'abord, développons ω2.
(x+iy)2=x2+(iy)2+2xyi=(x2−y2)+i∗(2xy)
Nous savons que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. Nous avons donc ici l'égalité :
(x2−y2)+i∗(2xy)=a+ib
Et nous en déduisons le couple suivants :
x2−y2=a

2xy=b
Comme je l'ai dit plus tôt, nous cherchons à exprimer x et y séparément et en fonction de a et b. Pour cela, il nous faut une troisième égalité.
Comme nous savons que deux nombres complexes égaux ont des modules égaux, alors nous avons :
|ω2|=|z|

|ω|2=|z|
  • D'après les propriétés du module
x2+y2=√a2+b2
D'où, les deux égalités suivantes :
x2=√a2+b2−y2

y2=√a2+b2−x2
D'après l'égalité x2−y2=a, nous déduisons :

x2=a+y2 et y2=x2−a

On substitue les valeurs trouvées dans les deux égalités précédentes :
x2=√a2+b2−(x2−a)

y2=√a2+b2−(a+y2)
Et nous aboutissons à :
2x2=√a2+b2+a

2y2=√a2+b2−a
Et finalement à :
x=√22∗√√a2+b2+a

y=√22∗√√a2+b2−a
Cependant, nous n'avons pas fini. Il va maintenant s'agir de discriminer les cas possibles :
  • √a+ib=x+iy
  • √a−ib=x−iy
  • √−a+ib=y+ix
  • √−a−ib=y−ix

Clément
Fondateur du blog Point Carré et philognoseur. Ecrit sur des sujets variés, essentiellement pour ses études et parfois juste par plaisir !

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