Déterminer la racine carrée d'un complexe

Un nombre complexe, communément noté $z$, s'écrit dans sa forme algébrique $z = a + ib$ ; avec a et b des réels. Aujourd'hui, nous allons voir comment déterminer la racine d'un nombre complexe. Pour cela, il suffit de poser :
$$\omega^2 = z$$
Avec $$\omega$$ un nombre complexe tel que $$\omega = x + iy$$. Le but sera de déterminer x et y en fonction de a et b pour trouver $$\omega$$.

Tout d'abord, développons $$\omega^2$$.
$$(x+iy)^2 = x^2 + (iy)^2 + 2xyi = (x^2 - y^2) + i*(2xy)$$
Nous savons que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. Nous avons donc ici l'égalité :
$$(x^2 - y^2) + i*(2xy) = a + ib$$
Et nous en déduisons le couple suivants :
$$x^2 - y^2 = a $$

$$2xy = b$$
Comme je l'ai dit plus tôt, nous cherchons à exprimer x et y séparément et en fonction de a et b. Pour cela, il nous faut une troisième égalité.
Comme nous savons que deux nombres complexes égaux ont des modules égaux, alors nous avons :
$$|\omega^2| = |z|$$

$$|\omega|^2 = |z|$$
  • D'après les propriétés du module
$$x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$$
D'où, les deux égalités suivantes :
$$x^2 = \sqrt{a^2 + b^2} - y^2$$

$$y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} - x^2$$
D'après l'égalité $$x^2 - y^2 = a$$, nous déduisons :

$$x^2 = a + y^2$$ et $$ y^2 = x^2 - a$$

On substitue les valeurs trouvées dans les deux égalités précédentes :
$$x^2 = \sqrt{a^2 + b^2} - (x^2 - a)$$

$$y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} - (a + y^2)$$
Et nous aboutissons à :
$$2x^2 = \sqrt{a^2 + b^2}  + a$$

$$2y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} - a$$
Et finalement à :
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}*\sqrt{\sqrt{a^2 + b^2}  + a}$$

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2}*\sqrt{\sqrt{a^2 + b^2} - a}$$
Cependant, nous n'avons pas fini. Il va maintenant s'agir de discriminer les cas possibles :
  • $$\sqrt{a + ib} = x + iy$$
  • $$\sqrt{a - ib} = x - iy$$
  • $$\sqrt{-a + ib} = y + ix$$
  • $$\sqrt{-a - ib} = y - ix$$

Clément
Fondateur du blog Point Carré et philognoseur. Ecrit sur des sujets variés, essentiellement pour ses études et parfois juste par plaisir !

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