Démonstration de dérivées #1

Des formules mathématiques
Les dérivées forment un outil mathématiques formidable dès lors qu'il s'agit d'étudier des fonctions. Ainsi, par l'étude du signe d'une dérivée nous sommes en mesure de dire que la fonction est croissante ou décroissante. Mais cela va au-delà : les équations différentielles, très employées en physique et biologie (équations de Lotka Volterra par exemple) nous font chercher un couple formé par une fonction et sa dérivée (première, seconde...).

Pour déterminer le nombre dérivé d'une fonction en un point, on utilise la limite du taux d’accroissement en ce point.

La formule générale est : $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$


Fonction étudiée : $f(x)=x^2$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 +2xh +h^2 -x^2}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2x +h)}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} 2x +h$

Par conséquent, $f'(x) = 2x$ 

Fonction étudiée : $f(x) = \sqrt{x}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
  • Ici on utilise la quantité conjuguée pour se débarrasser des racines au numérateur.
$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$


Par conséquent $f'(x) = \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Clément
Fondateur du blog Point Carré et philognoseur. Ecrit sur des sujets variés, essentiellement pour ses études et parfois juste par plaisir !

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