Les sommes : la sommation par paquets
Exemple :
$$\sum_{k=0}^{2n} k = \sum_{\lceil{k=\frac{0}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n}{2}}\rfloor} 2k + \sum_{\lceil{k=\frac{0}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n-1}{2}}\rfloor} 2k + 1 = \sum_{k=0}^{n} 2k + \sum_{k=0}^{n-1} 2k + 1$$Le processus pas à pas :
Je commence par construire le membre des nombres impairs en soustrayant -1 à droite (j'ajoute donc +1 à gauche).
$$\sum_{k=-1}^{2n-1} k + 1$$
Puis, je remplace k par 2k, et donc je divise -1 et 2n par 2.
$$\sum_{k=\frac{-1}{2}}^{\frac{2n-1}{2}} 2k + 1$$
Et je termine par les arrondis supérieurs et inférieurs :
$$\sum_{k=\lceil{\frac{-1}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n-1}{2}}\rfloor} 2k + 1$$
Je passe ensuite au membre des des nombres pairs qui, heureusement, est plus simple à créer ; il suffit de diviser par 2 à gauche et donc de multiplier à droite par 2 :
$$\sum_{k=\frac{0}{2}}^{\frac{2n}{2}} 2k$$
Puis de rajouter les arrondis :
$$\sum_{k=\lceil{\frac{0}{2}}\rceil}^{\lfloor{\frac{2n}{2}}\rfloor} 2k$$
En additionnant les deux membres, on arrive à :
$$\sum_{k=0}^{2n} k = \sum_{k=0}^{n} 2k + \sum_{k=0}^{n-1} 2k + 1$$
Clément
Fondateur du blog Point Carré et philognoseur. Ecrit sur des
sujets variés, essentiellement pour ses études et parfois juste par
plaisir !
